【基礎から学ぶ電気回路】交流回路の電力の複素数表示

電気回路に流れる電気信号は、直流と交流に二分されます。
直流は基本的に一定値として取り扱うので比較的理解しやすいのですが、交流になると正弦波状に変化するせいでちょっとわかりづらくなってきます。
なるべく初心者の方でもわかりやすいよう噛み砕いて説明をしていきますので、腰を据えて読んでみてください。

今回は、「交流回路の電力の複素数表示」についての説明です。

１．ポイント
２．交流回路の電力の複素数表示
３．複素電力の計算

１．ポイント

交流回路の電力の複素数表示

皮相電力S、有効電力P、無効電力Qは複素数表示すると以下のようになります。

複素電力の計算

複素電力S・は複素電圧V・の共役複素数と複素電流I・の積となる。

２．交流回路の電力の複素数表示

「交流回路の電力」の説明にて、皮相電力S、有効電力P、無効電力Qで電力の直角三角形を作ることができると述べました。

この電力の関係を複素数で表すと以下のようになります。
※ 電圧V・を基準にして、電流I・がθ進んでいる場合について考えています。

この電力のことを複素電力と呼びます。
(複素数表示したものは総じて「複素～」と呼びます)
ちなみに、無効電力Qが虚数扱いになっています。

虚数を表す「j」が分子にあると位相がπ/2進んでいる、分母にあると位相がπ/2遅れていることを意味しています。

３．複素電力の計算

複素電力S・は、複素電圧V・と複素電流I・の積で求めることも可能です。

ベクトル表示でV・=V∠α[V]、I・=I∠β[A]の電圧と電流があります。
複素電圧V・と複素電流I・の位相差θはθ=α-βです。
位相差を明確にする為に、横軸に複素電圧V・を合わせて基準にします。
その為、両ベクトルをαだけ時計回りに回転させます。

ここで、(回転後の複素電圧V・)×(回転後の複素電流I・)=(回転前の複素電圧の共役複素数)×(回転前の複素電流I・)という関係が成り立っている為、複素電力S・は以下のように表せます。

計算の結果、虚数部の符号が＋の時は進み、－の時は遅れの無効電力になります。

ちなみに、横軸に複素電流I・を合わせても計算はできますが、進み・遅れの見方が複素電圧V・を基準にした時と反対にする必要があります。
ややこしいので基本は電圧を基準にしましょう。

『(回転後の複素電圧V・)×(回転後の複素電流I・)=(回転前の複素電圧の共役複素数)×(回転前の複素電流I・)という関係が何故成り立っているのか？』、『共役複素数って何だっけ？』という方は以下の説明をご覧下さい。
実例を用いた説明を記載してあります。

説明

以下のような複素電圧V・と複素電流I・があります。
この時の複素電力S・を求めてみましょう。

電圧を基準にしたいので、各々π/3だけ時計回りに回転させます。

ベクトル表示のまま計算し、複素電力S・を求めると以下のようになります。

ベクトルの掛け算は、大きさ同士、角度同士で別々に計算します。

ここで、回転させる前後の複素電圧V・と複素電流I・に注目して下さい。
ベクトル表示の場合、π/3時計回りに回転させても変化するのは角度だけですよね？
つまり、複素電圧V・と複素電流I・を各々π/3ずつ回転させて掛け合わせたベクトルと、複素電圧V・を2π/3回転させて複素電流I・と掛け合わせたベクトルは一致します。