【基礎から学ぶ電気回路】 交流電圧の実効値の求め方 ～正弦波編～

今回は、「交流電圧の実効値の求め方(正弦波編)」についての説明です。

１．ポイント

２．交流電圧の実効値の定義式

周期T[s]の交流電圧v(t)の実効値V_rmsは、以下のように定義されています。

この定義式は、交流電圧を2乗して0～Tの範囲(1周期)で積分して周期Tで割ったものを平方根にしています。
つまり、2乗(Square)し、平均(Mean)し、平方根(Root)にした値になっているわけです。
このことを略してRMS(※実効値のこと)と呼ぶので、単純にその関係を式に当て嵌めたものが定義式になっているということです。

ただ、これでは何故2乗(Square)し、平均(Mean)し、平方根(Root)にすると実効値になるのかわからないですよね？
ということで、まずは定義式を用いないで別口から実効値を求めてみます。

３．定義式を用いない正弦波交流の実効値の求め方

抵抗に交流電圧を与えた際の電力と、同じ抵抗に直流電圧を与えた際の電力が等しくなる時、この交流電圧(電流)の実効値は直流電圧(電流)と等しくなると定義されています。
これを踏まえて実効値を求めていきます。

まず、図1のような抵抗R[Ω]に直流電源V_DCを繋いだ単純な回路があるとします。

この時、抵抗Rの電力は、P_DC=V_DCI_DCです。
なので、図2のように直流電源V_DCを交流電源V_AC=V_msinωtに入れ替えた時の抵抗Rの電力P_ACを計算し、P_DC=P_ACになるためのV_mを求めることで実効値を算出します。

「二倍角の公式」を用いてsinの2乗を変形します。

このP_ACを図示すると、図3のようになります。

V_m²/2Rを基準とした波になることがわかるので、P_ACの平均値はV_m²/2Rになるとわかります。

このP_ACの平均値がP_DCと等しくなる時の交流電圧(電流)が実効値になるわけです。

これで正弦波交流の実効値はV_m/√2になると求めることができました。

だから交流の実効値は2乗(Square)し、平均(Mean)し、平方根(Root)にした値と呼ばれているわけです。

４．定義式を用いた正弦波交流の実効値の求め方

次は、定義式を使って正弦波の実効値を実際に求めてみます。

v(t)は先程のV_AC同様にV_msinωtだとします。
この式を定義式に代入し、計算していきます。

「正弦波交流の平均値と実効値」の説明で述べた実効値は、実際はこのように求めているのです。

以上、「交流電圧の実効値の求め方(正弦波編)」についての説明でした。

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