今回は、「対数関数の微分」についての説明です。
１．対数関数の微分
ある点の傾きを求めることを微分と呼ぶわけですが、対数関数に対しても微分は可能です。
対数関数についてよくわかっていない方・もう忘れたという方は、以下の記事から先に読んでみてください。
【基礎から学ぶ指数対数】 そもそも対数とは何なのか？ ～logという記号と表示形式について～
数学は社会に出るとあまり役に立たないみたいなことを言っている人が偶にいますが、電気系の分野に進むとそうでもないです。忘れたころに中学・高校で習った内容を思い返す必要がある…ということは微妙にあります。本記事ではそんな内容の一つである“微分”について、基本からわかりやすくまとめてみました。今回はそもそも対数とは何なのかについてです。
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2024.10.17
対数関数の微分の関係式は以下の通りです。
2つの関係式がありますが、結局元となっているのは一番上の関係式ただ一つなので、今回はその式の証明をしていきます。
２．関係式の導き方
では、logaxを微分するとなぜ1/xlogeaになるのかを説明します。
f(x)という関数を微分する場合の定義は以下のようになっていました。
この微分の定義式に対数関数を当て嵌めて考えていきます。
ここで、h/x=yと置きます。
この式からは、hを限りなく0に近づけた時、yも0に近づいていくことがわかります。
つまり、h→0にすると、y→0になります。
上記を踏まえて、先程の式を変形します。
唐突ですが、ネイピア数eの定義式は、以下のようになっています。
先程のlogaxの微分式と見比べると、共通点が見当たりますよね？
なので、この定義式に従ってネイピア数eで表現します。
logexの微分については、この関係式のaにeを代入するだけで求められます。
以上、「対数関数の微分」についての説明でした。
